Un estudio sobre la pregunta de Halphen:

Abstract

La geometría algebraica aborda el estudio de las propiedades geométricas definidas por ecuaciones polinomiales y sus invariantes topológicos. La presente tesis analiza la célebre pregunta formulada por Georges Henri Halphen en 1882: ¿qué combinaciones de grado y género son posibles para una curva algebraica en el espacio proyectivo? El trabajo aborda esta problemática centrándose en el análisis de curvas algebraicas suaves de grado en el plano proyectivo de dimensión 2. A través de un enfoque clásico fundamentado en el principio italiano y el suavizado topológico de intersecciones, se deduce formalmente la fórmula del género para estas curvas y se determinan los límites y combinaciones admisibles de sus invariantes geométricos. Asimismo, la tesis sienta las bases teóricas en coordenadas homogéneas y espacios afines y proyectivos, explorando ideas iniciales para la generalización del problema de Halphen en el espacio proyectivo tridimensional.